贡献者： addis; ACertainUser
预备知识 1 切线，极坐标系
1我们来看一个平面上的一个光滑曲线（即处处存在切线），我们如何描述它某点处的弯曲程度呢？一种常用方法是在这点附近取曲线的一小段，然后做一个尽量与它吻合的圆，当这小段的长度趋近于 0 时，这个圆可以唯一确定。我们把这个圆叫做密切圆（osculating circle），把密切圆的半径叫做曲线在该点的曲率半径（radius of curvature） 常记为 $\rho$，曲率半径的倒数 $1/\rho$ 叫做曲率（curvature）。下面我们来具体定义曲率半径。
图 1：密切圆和曲率半径
我们先来看一个半径为 $R$ 的圆的一小段圆弧，令其长度为 $\Delta l$。作这段圆弧两端的切线，令它们的夹角为 $\Delta \theta$，那么显然满足 $R \Delta\theta = \Delta l$。
同理，对于图 1 中光滑曲线上一点，取该点附近长度为 $\Delta l$ 的一段，在其两端分别作切线，令夹角为 $\Delta\theta$ 并分别作切线的垂直线，那么当 $\Delta l \to 0$ 时两个切线在切点处的垂直线的交点就是密切圆的圆心。此时密切圆的半径，即曲率半径 $\rho$ 就是
\begin{equation}
\rho = \lim_{\Delta l \to 0} \frac{\Delta l}{\Delta \theta}~.
\end{equation}
曲率的具体的计算公式取决于使用什么方式定义曲线，最常见描述方式就是在直角坐标系中通过函数 $y(x)$ 来定义曲线。此时点 $(x, y)$ 处的曲率半径为（$\dot y, \ddot y$ 分别表示导数和二阶导数）
\begin{equation}
\rho = \frac{(1 + \dot y^2)^{3/2}}{\ddot y}~.
\end{equation}
如果通过极坐标函数 $r(\theta)$ 定义曲线，则点 $(r, \theta)$ 处的曲率半径为
\begin{equation}
\rho = \frac{(r^2 + \dot r^2)^{3/2}}{r^2 + 2\dot r^2 - r\ddot r}~.
\end{equation}
推导见下文。
1. 直角坐标系的推导
预备知识 2 高阶导数，一元函数的微分
未完成：需要画图
平面上曲线的最常见描述方式就是通过定义函数 $y(x)$。我们可以通过导数计算曲线上某点切线关于 $x$ 轴的夹角 $\theta$。
\begin{equation}
\dot y \approx \frac{\Delta y}{\Delta x} = \tan \theta~.
\end{equation}
曲线很短时
\begin{equation}
\Delta{l} \approx \frac{\Delta{x}}{\cos\theta}~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \dot y^2}}~.
\end{equation}
为了得到 $\Delta{\theta}$，我们对式 4 两边做微分，近似有
\begin{equation}
\ddot y \Delta{x} \approx \frac{\Delta{\theta}}{\cos^2\theta}~,
\end{equation}
其中 $\Delta{\theta}$ 就是 $\Delta{x}$ 对应的一小段曲线两端切线的夹角。所以由式 1 ，曲率半径为（在取极限后精确成立）
\begin{equation}
\rho = \lim_{\Delta l\to 0}\frac{\Delta l}{\Delta \theta} = \frac{1}{\ddot y\cos^3\theta} = \frac{(1 + \dot y^2)^{3/2}}{\ddot y}~.
\end{equation}
2. 极坐标系的推导
极坐标系中，同样可以用函数 $r(\theta)$ 描述曲线。为了方便，也可以姑且把上面的 $\Delta$ 都写成 $ \,\mathrm{d}{} $ 并取等号。令
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{r} }{r \,\mathrm{d}{\theta} } = \tan\alpha~,
\end{equation}
未完成：需要画图
即
\begin{equation}
\dot r = r\tan\alpha~.
\end{equation}
长度微分为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{l} = \frac{r \,\mathrm{d}{\theta} }{\cos\alpha}~.
\end{equation}
微分
\begin{equation}
\ddot r \,\mathrm{d}{\theta} = \dot r\tan\alpha \,\mathrm{d}{\theta} + \frac{r}{\cos^2\alpha} \,\mathrm{d}{\alpha} ~.
\end{equation}
即
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{\alpha}}{\mathrm{d}{\theta}} = (\ddot r - \dot r \tan\alpha) \frac{\cos^2\alpha}{r} = \frac{\ddot r - \dot r\tan\alpha}{r(t + \tan^2\alpha)}~.
\end{equation}
注意切线方向的微分是 $ \,\mathrm{d}{\theta} - \,\mathrm{d}{\alpha} $。所以
\begin{equation}
\rho = \frac{ \,\mathrm{d}{l} }{ \,\mathrm{d}{\theta} - \,\mathrm{d}{\alpha} } = \frac{ \,\mathrm{d}{l} / \,\mathrm{d}{\theta} }{1 - \,\mathrm{d}{\alpha} / \,\mathrm{d}{\theta} }~.
\end{equation}
把式 1 和式 13 代入，再使用式 10 消去 $\alpha$ 得
\begin{equation}
\rho = \frac{(r^2 + \dot r^2)^{3/2}}{r^2 + 2\dot r^2 - r\ddot r}~.
\end{equation}
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。